定积分 中, 函数 需满足何条件?
- 有限区间 上定义;
- 为有界函数
- 反常积分: 不满足上述两条件之一的积分
- 相对于反常积分而言, 定积分称为常义积分
反常积分
一、无穷区间上的积分
Solution
- 若 :
- 动能转换 : 第二宇宙速度
Solution
![../res/MSP27271e0cbch8h733hh4400002ia0233chdai4bd0.gif](/img/user/res/MSP27271e0cbch8h733hh4400002ia0233chdai4bd0.gif)
实际上是无穷的,所以是瑕积分
无穷积分
设 , 且 , 称
为 在 上的无穷积分.
无穷积分的敛散性判断
则称 收敛, 且其值为
- 若上述极限不存在, 则称 发散.
结论: 无穷积分的敛散性是通过 F(变上限积分) 的敛散性定义的
类似可定义 的收敛与发散.
设 , 若 ,
和
同时独立收敛(之间无关),
则称 收敛, 且其值为
实际上,的积分是等价(同敛散性)的,只差一个 ~ 的积分:
(同理可互换)
更一般的, (定理1)
定理: 同敛散性
对 , 与 同敛散, 且收敛时有
定理: 广义 N-L 公式
若 , 且 , 则
例题
Solution
结论: 当且仅当 的时候收敛
Solution
由于 故原积分发散
负无穷到0的积分是负无穷,但是不代表负无穷和正无穷可以抵消。
实际上,如果需要两个抵消,需要左边的界与右边的界相同 () ,而这是不满足同时独立收敛的!
但是我们可以说它 柯西主值收敛 于0
判定原积分的敛散性是根据 定义 得到的
神奇小号
神奇小号: 曲线
绕 轴旋转曲面.
![../res/2023_12_14_a84c04c16cf4b9b9ddf3g-06.jpg](/img/user/res/2023_12_14_a84c04c16cf4b9b9ddf3g-06.jpg)
托里拆利(Torricelli)小号
小号特点
表面积
而 已经趋近于正无穷,根号内始终大于一,所以为正无穷
所围体积
参见上例题的 的特殊情况
二、瑕积分
设 , 且 是 的瑕点. 若 使得 , 称 为 在 上瑕积分.
- #瑕点 : 在 任意一个去心领域都无界
- 此处借用了定积分的符号,并不是定积分
瑕积分的敛散性
则称 收敛, 其值定义为
-
此时积分符号有两种含义:数值 ;瑕积分
-
若上述极限不存在, 则称 发散.
-
当 为 的瑕点, 定义
-
当 为 的瑕点, 定义
当且仅当右端 同时独立收敛 时(上限 ,下限 ), 称 左端收敛 .
定理: N-L 公式
若 , 且 , 则
瑕点可能带不进去
例题
Solution
为瑕点
故原积分当且仅当 时收敛
Solution
发散
为瑕点
注意同时独立,若所得为0,其实是默认了
三、反常积分的换元和分部积分
换元法
设 , 且 , 则有
- 外形与定积分的换元法无区别,但是 可能也是瑕点,带不进去=>使用极限
- 若换元后 不再是瑕点,则变成定积分,且原积分收敛
- 也可能为无穷:无穷积分
分部积分
设 , 则有
例题
例4 计算
Tips
无穷积分、三角代换
Solution
三角替换 不再是瑕点
Solution
不再是瑕点
例6 证明瑕积分
收敛, 并求其值.
Proof
是瑕点
其中由于 为定积分,故 从而收敛
Solution
上式容易判断敛散性,但并不容易计算值
由于
由前式: